Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости нарисовано несколько прямых (не меньше двух), никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что среди частей, на которые эти прямые делят плоскость, найдется хотя бы один угол.

   Решение

---

а) Каким наименьшим числом прямых можно разрезать все клетки доски 3×3? (Чтобы клетка была разрезана, прямая должна проходить через внутреннюю точку этой клетки.)
б) Та же задача для доски 4×4.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 32135

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

В плоскости отмечена 101 точка, не все они лежат на одной прямой. Через каждую пару отмеченных точек красным карандашом проводится прямая. Докажите, что на плоскости существует точка, через которую проходит не меньше 11 красных прямых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35056

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На плоскости даны 10 точек: несколько из них – белые, а остальные – чёрные. Некоторые точки соединены отрезками. Назовём точку особой, если более половины соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Каждым ходом выбирается одна из особых точек (если такие есть) и перекрашивается в противоположный цвет. Докажите, что через несколько ходов не останется ни одной особой точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35586

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Малые шевеления ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На плоскости нарисовано несколько точек. Докажите, что можно провести прямую так, чтобы расстояния от всех точек до неё были различными.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64515

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64556

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3+

На окружности отмечено 20 точек. Сколько существует таких троек хорд с концами в этих точках, что каждая хорда пересекает две остальные (возможно, в концах)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями