ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98360
Темы:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Вялый М.Н.

а) Каким наименьшим числом прямых можно разрезать все клетки шахматной доски 3×3? (Чтобы клетка была разрезана, прямая должна проходить через внутреннюю точку этой клетки.)
б) Та же задача для доски 4×4.


Решение

  а) Одна прямая, очевидно, не может разрезать даже четыре клетки квадрата 2×2. Пример для двух прямых см. на рисунке.

  б) Разобьём квадрат 4×4 на четыре квадрата 2×2. Из сказанного выше видно, что первая прямая в один из этих квадратов не "заходит". Поэтому нужно ещё, как минимум, две прямые, чтобы разрезать четыре клетки этого квадрата. Пример для трёх прямых изображён на рисунке.


Ответ

а) Двумя,  б) тремя прямыми.

Замечания

  1. Для оценки необходимого числа прямых можно воспользоваться также следующим общим соображением для прямоугольника m×n. Переходя из одной клетки в другую, прямая пересекает одну из линий сетки. Так как линий сетки всего  m + n – 2  (m – 1  горизонтальная и  n – 1  вертикальная), а прямая каждую из них может пересечь только один раз, то она не может пройти больше чем через  m + n – 1  клетку.
  В частности, в квадрате 3×3 одна прямая разрежет не более пяти клеток, а в квадрате 4×4 – не более семи клеток (и поэтому двух прямых там не хватит).

  2. Баллы: 8-9 кл. – 2 + 4, 10-11 кл. – 2 + 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1997/1998
Номер 19
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1997/1998
Номер 19
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .