Задача 32135

Темы:    [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

В плоскости отмечена 101 точка, не все они лежат на одной прямой. Через каждую пару отмеченных точек красным карандашом проводится прямая. Докажите, что на плоскости существует точка, через которую проходит не меньше 11 красных прямых.

Решение

Пусть через через одну из отмеченных точек A проходит не более десяти красных прямых. На этих прямых лежат, не считая A, 100 отмеченных точек. Значит, на одной из этих прямых l лежит не менее десяти из них. Вместе с A, прямая l содержит по крайней мере 11 отмеченных точек. Рассмотрим точку B, не лежащую на l. Она соединена красными прямыми с 11 отмеченными точками, лежащими на l.

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	15
Дата	1992
задача
Номер	03