Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вневписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке D, а продолжений сторон AB и AC — в точках E и F. Пусть T — точка пересечения прямых BF и CE. Докажите, что точки A, D и T лежат на одной прямой.

   Решение

---

В торговом центре три автомата продают кофе. В течение дня первый автомат ломается с вероятностью 0,4, второй – с вероятностью 0,3. Каждый вечер приходит механик Иванов и чинит все сломанные автоматы. Однажды Иванов написал в отчете, что математическое ожидание поломок в неделю равно 12. Докажите, что Иванов преувеличивает.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике АBC через центр I вписанной окружности и вершину А провели прямую, пересекающую описанную окружность в точке P. Найдите IP, если  ∠А = α,  а радиус описанной окружности равен R.

   Решение

---

Выпуклая фигура имеет площадь S и полупериметр p. Докажите, что если S > np для некоторого натурального n, то содержит по крайней мере n целочисленных точек.

   Решение

---

12 кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: "До меня соврали один раз". Другой сказал: "А теперь -дважды". "А теперь - трижды" - сказал третий, и так далее до 12-го, который сказал: "А теперь соврали 12 раз". Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же раз всего соврали кандидаты?

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 53145

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Касающиеся окружности ] [ Аналитический метод в геометрии ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Внутри выпуклого четырёхугольника расположены четыре окружности, каждая из которых касается двух соседних сторон четырёхугольника и двух окружностей (внешним образом). Известно, что в четырёхугольник можно вписать окружность. Докажите, что по крайней мере две из данных окружностей равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111857

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ] [ Аналитический метод в геометрии ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98151

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема синусов ] [ Аналитический метод в геометрии ] [ Трапеции (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Дан угол с вершиной O и внутри него точка A. Рассмотрим такие точки M, N на разных сторонах данного угла, что углы MAO и OAN равны.
Докажите, что все прямые MN проходят через одну точку (или параллельны).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115878

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ] [ Аналитический метод в геометрии ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями