Внутри остроугольного треугольника ABC выбрана точка M, являющаяся:

а) точкой пересечения медиан;

б) точкой пересечения биссектрис;

в) точкой пересечения высот.

Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AMB, BMC, AMC равны, то треугольник ABC — правильный.

   Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 841]      

Точки  C₁, A₁, B₁ взяты на сторонах AB, BC, CA треугольника ABC так, что  BA₁ = ^. BC, CB₁ = ^. CA, AC₁ = ^. AB, причем  1/2 < < 1. Докажите, что периметр P треугольника ABC и периметр P₁ треугольника A₁B₁C₁ связаны неравенствами  (2-1)P < P₁ < P.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый многоугольник, его содержащий.)
б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC периметра P взята точка O. Докажите, что  P/2 < AO + BO + CO < P.

Прислать комментарий

Решение

На основании AD трапеции ABCD нашлась точка E, обладающая тем свойством, что периметры треугольников ABE, BCE и CDE равны. Докажите, что тогда BC = AD/2.

Прислать комментарий

Решение

Внутри квадрата со стороной 1 даны n точек. Докажите, что:
а) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках или вершинах квадрата не превосходит  1/(2(n + 1));
б) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках не превосходит 1/(n - 2).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 841]