ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 116588  (#10.2)

Темы:   [ Шестиугольники ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF. Известно, что  ∠FAE = ∠BDC,  а четырёхугольники ABDF и ACDE являются вписанными.
Докажите, что прямые BF и CE параллельны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116589  (#10.3)

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Последовательность чисел  a1, a2, ...  задана условиями  a1 = 1,  a2 = 143  и     при всех  n ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116596  (#11.2)

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Через вершины основания четырёхугольной пирамиды SABCD проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину A – параллельно SC, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116597  (#11.3)

Темы:   [ Векторы (прочее) ]
[ Пересекающиеся окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На плоскости нарисованы n > 2 различных векторов  a1, a2, ..., an  с равными длинами. Оказалось, что все векторы  –a1 + a2 + ... + an,
a1a2 + a3 + ... + ana1 + a2 + ... + an–1an   также имеют равные длины. Докажите, что  a1 + a2 + ... + an = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116582  (#9.4)

Темы:   [ Доказательство от противного ]
[ Разложение на множители ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Целые числа a и b таковы, что при любых натуральных m и n число  am² + bn²  является точным квадратом. Докажите, что  ab = 0.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .