ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      



Задача 108228  (#05.4.8.6)

Темы:   [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
[ Биссектриса угла ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В четырёхугольнике ABCD углы A и C равны. Биссектриса угла B пересекает прямую AD в точке P. Перпендикуляр к BP, проходящий через точку A, пересекает прямую BC в точке Q. Докажите, что прямые PQ и CD параллельны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110197  (#05.4.8.7)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Неравенство Коши ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Найдите все такие пары  (x, y)  натуральных чисел, что  x + y = an,  x² + y² = am  для некоторых натуральных a, n, m.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110198  (#05.4.8.8)

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Процессы и операции ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.

б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110185  (#05.4.9.1)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

Прислать комментарий     Решение

Задача 110193  (#05.4.9.2)

Темы:   [ Признаки делимости на 11 ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .