Задача 110193
|
|
 |
Условие
Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?
Решение
Напишем на десяти карточках цифру 2, а на оставшихся девяти – цифру 1. Известно, что натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма S, составленная из цифр данного числа, кратна 11.
В числе, составленном из десяти цифр 2 и девяти цифр 1, выполняются неравенства –7 ≤ S ≤ 11.
Сумма всех цифр нечётна (она равна 21), поэтому S также нечётно.
От –7 до 11 есть только одно нечётное число, кратное 11 – это число 11. Но для
S = 11 имеется единственная возможность – когда на нечётных местах стоят двойки, а на чётных – единицы.
Ответ
Можно.
