ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109808  (#04.5.9.1)

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Раскраски ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109809  (#04.5.9.2)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K1 , L1 , M1 , N1 – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K1L1M1N1 – параллелограмм.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109810  (#04.5.9.3)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по одному шарику. Известно, что некоторые из шариков– белые, и их количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить, есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно определить какие-нибудь две коробочки, в которых лежат белые шарики?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109811  (#04.5.9.4)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Даны натуральное число  n > 3  и положительные числа x1, x2, ..., xn, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 109812  (#04.5.9.5)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Иррациональные неравенства ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что  m + n = p + q  и  

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .