В алфавите племени Мумбу-Юмбу есть лишь две буквы A и Б. Два разных слова обозначают одно и то же понятие, если одно из них может быть получено из другого с помощью следующих операций:
  1) в любом месте слова комбинацию букв АБА можно заменить на БАБ;
  2) из любого места можно выкидывать две одинаковые буквы, идущие подряд.
  а) Может ли дикарь племени сосчитать все пальцы на своей руке?
  б) А дни недели?

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Иррациональные неравенства ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что  m + n = p + q  и  

Решение

Будем искать такие числа в виде  m = a²,  n = b³,  p = c²,  q = d³,  где a, b, c, d – натуральные. Тогда  a + b = c + d,  a² + b³ = c² + d³,  то есть  a – c = d – b,
(a – c)(a + c) = (d – b)(d² + bd + b²).  Зафиксируем такие b и d, что  b = d – 1 > 2004.  Тогда условиям удовлетворяет пара  c = ½ (d² + bd + b² – 1),
a = ½ (d² + bd + b² + 1);  эти числа целые, поскольку b и d разной чётности. Кроме того,  a > c > b² > d > b > 2004.

Ответ

Существуют.

Замечания

Можно показать, что для любой четвёрки чисел, удовлетворяющей условию, числа    целые.

Источники и прецеденты использования