ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109812
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Иррациональные неравенства ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что  m + n = p + q  и  


Решение

Будем искать такие числа в виде  m = a²,  n = b³,  p = c²,  q = d³,  где a, b, c, d – натуральные. Тогда  a + b = c + d,  a² + b³ = c² + d³,  то есть  a – c = d – b,
(a – c)(a + c) = (d – b)(d² + bd + b²).  Зафиксируем такие b и d, что  b = d – 1 > 2004.  Тогда условиям удовлетворяет пара  c = ½ (d² + bd + b² – 1),
a = ½ (d² + bd + b² + 1);  эти числа целые, поскольку b и d разной чётности. Кроме того,  a > c > b² > d > b > 2004.


Ответ

Существуют.

Замечания

Можно показать, что для любой четвёрки чисел, удовлетворяющей условию, числа    целые.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 04.5.9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .