Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 824 825 826 827 828 829 830 >> [Всего задач: 7526]

Задача 34953

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причем каждым из этих пяти цветов окрашена хотя бы одна точка. Докажите, что найдется плоскость, все точки которой окрашены не менее, чем в 4 цвета.

Прислать комментарий Решение

Задача 35001

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны соответственно точки C', A', B'. Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C', BC'A', CA'B' проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 35040

Темы:	[	Стереометрия (прочее)	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся 4 вершины A, B, C, D, обладающие следующим свойством: для каждой из четырех вершин A, B, C, D, многогранник целиком лежит по одну сторону от плоскости, проходящей через эту точку и параллельной плоскости, проходящей через три другие вершины.

Прислать комментарий Решение

Задача 35058

Темы:	[	Покрытия	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

10 журналов лежат на журнальном столе, полностью покрывая его. Докажите, что можно убрать пять из них так, что оставшиеся журналы будут покрывать не менее половины площади стола.

Прислать комментарий Решение

Задача 35077

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Последовательность f(n) (n=1,2,...), состоящая из натуральных чисел, такова, что f(f(n))=f(n+1)+f(n) для всех натуральных n. Докажите, что все члены этой последовательности различны.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 824 825 826 827 828 829 830 >> [Всего задач: 7526]