ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34953
Темы:    [ Раскраски ]
[ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причем каждым из этих пяти цветов окрашена хотя бы одна точка. Докажите, что найдется плоскость, все точки которой окрашены не менее, чем в 4 цвета.

Подсказка

Если некоторая прямая окрашена в 3 цвета, то задача решается просто.

Решение

Если некоторая прямая окрашена в 3 или более цветов, то проведем плоскость через эту прямую и точку одного из недостающих цветов. Эта плоскость будет окрашена не менее, чем в 4 цвета. Далее, предположим, что каждая прямая окрашена не более, чем в 2 цвета. Фиксируем по одной точке каждого из пяти цветов. Пусть никакие четыре из этих пяти точек не лежат в одной плоскости (в противном случае решение очевидно). Рассмотрим прямые, попарно соединяющие эти точки. Они пересекают некоторую плоскость П, им не параллельную, в 10 различных точках. Покажем, что эти 10 точек окрашены не менее, чем в 4 цвета. В противном случае некоторые 2 цвета (a и b) отсутствуют. Но одним из этих цветов должна быть окрашена точка пересечения прямой, соединяющей точки цветов a и b, с плоскостью П (вся эта прямая окрашена два цвета a и b).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .