ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



Задача 105112

Темы:   [ Шахматная раскраска ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Правило произведения ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На двух клетках шахматной доски стоят чёрная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108129

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

В неравнобедреном треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, I' – центр окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон CB и CA; L и L' – точки, в которых сторона AB касается этих окружностей.
Докажите, что прямые IL', I'L и высота CH треугольника ABC пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105119

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Ориентированные графы ]
[ Обход графов ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

По кругу расставлено несколько коробочек. В каждой из них может лежать один или несколько шариков (или она может быть пустой). За один ход разрешается взять все шарики из любой коробочки и разложить их, двигаясь по часовой стрелке, начиная со следующей коробочки, кладя в каждую коробочку по одному шарику.
  а) Докажите, что если на каждом следующем ходе шарики берут из той коробочки, в которую попал последний шарик на предыдущем ходе, то в какой-то момент повторится начальное размещение шариков.
  б) Докажите, что за несколько ходов из любого начального размещения шариков по коробочкам можно получить любое другое.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105118

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Выпуклые тела ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
[ Параллельный перенос ]
[ Движение помогает решить задачу ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите, что в пространстве существует такое расположение 2001 выпуклого многогранника, что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а каждые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .