ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]      



Задача 79343

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Существуют ли  а) 6,  б)15,  в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма  a + b  делится на разность  a − b?

Прислать комментарий     Решение

Задача 79345

Темы:   [ Рекуррентные соотношения ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство  P(x) > x.  Определим последовательность {bn} следующим образом:  b1 = 1,  bk+1 = P(bk)  для  k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {bn}, делящийся на d. Докажите, что  P(x) = x + 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79340

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Найти наименьшее n такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения n треугольников. Докажите, что для меньших n это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .