Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 79346 (#1)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Кривые второго порядка	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Можно ли на плоскости расположить бесконечное множество одинаковых кругов так, чтобы любая прямая пересекала не более двух кругов?

Прислать комментарий Решение

Задача 79343 (#2)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Существуют ли а) 6, б)15, в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79341 (#3)

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
Темы:	[	Средние величины	]

Сложность: 4
Классы: 9

В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.
б) Постройте пример такого турнира семи команд.
в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79347 (#4)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Последовательность натуральных чисел {x_n} строится по следующему правилу: x₁ = 2, ..., x_n = [1,5x_n–1].
Доказать, что последовательность y_n = (–1)^x_n непериодическая.

Прислать комментарий Решение

Задача 79345 (#5)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство P(x) > x. Определим последовательность {b_n} следующим образом: b₁ = 1, b_k+1 = P(b_k) для k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {b_n}, делящийся на d. Докажите, что P(x) = x + 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]