Информация о задаче

Задача 79340

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Найти наименьшее n такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения n треугольников. Докажите, что для меньших n это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.

Решение

Ответ: n = 50. Заметим сначала, что 50 треугольников достаточно. В самом деле, пусть $\Delta_{k}^{}$ — треугольник, стороны которого лежат на лучах A_kA_{k - 1} и A_kA_{k + 1} и который содержит выпуклый многоугольник A₁...A₁₀₀. Тогда этот многоугольник является пересечением треугольников $\Delta_{2}^{}$ , $\Delta_{4}^{}$ , ..., $\Delta_{100}^{}$ . С другой стороны, 100-угольник, изображённый на рисунке, нельзя представить в виде пересечения менее чем 50 треугольников.

В самом деле, если три его стороны лежат на сторонах одного треугольника, то одна из этих сторон -- сторона A₁A₂. Все стороны этого многоугольника лежат на сторонах n треугольников, поэтому 2n + 1 $\ge$ 100, т.е. n $\ge$ 50.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	40
Год	1977
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	5


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	40
Год	1977
вариант
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	5