ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79340
Темы:    [ Выпуклые многоугольники ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найти наименьшее n такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения n треугольников. Докажите, что для меньших n это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.

Решение

Ответ: n = 50. Заметим сначала, что 50 треугольников достаточно. В самом деле, пусть $ \Delta_{k}^{}$ — треугольник, стороны которого лежат на лучах AkAk - 1 и AkAk + 1 и который содержит выпуклый многоугольник A1...A100. Тогда этот многоугольник является пересечением треугольников $ \Delta_{2}^{}$, $ \Delta_{4}^{}$, ..., $ \Delta_{100}^{}$. С другой стороны, 100-угольник, изображённый на рис.???, нельзя представить в виде пересечения менее чем 50 треугольников. В самом деле, если три его стороны лежат на сторонах одного треугольника, то одна из этих сторон -- сторона A1A2. Все стороны этого многоугольника лежат на сторонах n треугольников, поэтому 2n + 1$ \ge$100, т.е. n$ \ge$50.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 40
Год 1977
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 5
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 40
Год 1977
вариант
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .