Версия для печати
Убрать все задачи
Окружности
S1 и
S2 пересекаются в точках
A и
B. Через точку
A проведена касательная
AQ к
окружности
S1 (точка
Q лежит на
S2), а через точку
B
-- касательная
BS к окружности
S2 (точка
S лежит на
S1). Прямые
BQ и
AS пересекают окружности
S1 и
S2 в
точках
R и
P. Докажите, что
PQRS — параллелограмм.
Решение
Докажите, что если
(
x+
)(
y+
)
=1
, то
x+y=0
.
Решение
Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T1 треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T2 – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T1; аналогично определим треугольники T3, T4 и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
а) треугольник T1 был остроугольным?
б) в последовательности T1, T2, T3, ... встретился прямоугольный треугольник Tn (и таким образом треугольник Tn+1 не определён)?
в) треугольник T3 был подобен треугольнику T?
г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник Tn подобен треугольнику Т.
Решение
На каждой из клеток доски размером 9×9 находится фишка. Петя хочет передвинуть каждую фишку на соседнюю по стороне клетку так, чтобы снова в каждой из клеток оказалось по одной фишке. Сможет ли Петя это сделать?
Решение
Фильтр
