Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Точка $T$ на прямой $BC$ выбрана так, что прямая $AT$ касается $\omega$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$, а окружность $\omega$ в точке $A_0$. Прямая $TA_0$ пересекает $\omega$ в точке $P$. Точка $K$ на отрезке $BC$ такова, что $BL=CK$. Докажите, что $\angle BAP=\angle CAK$.

   Решение

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Точки M и N являются проекциями вершин B и C на AD. Окружность с диаметром MN пересекает BC в точках X и Y. Докажите, что  ∠BAX = ∠CAY.

   Решение

В треугольнике $ABC$, где $AB < BC$, биссектриса угла $C$ пересекает в точке $P$ прямую, параллельную $AC$ и проходящую через вершину $B$, а в точке $R$ – касательную из вершины $B$ к описанной окружности треугольника. Точка $R'$ симметрична $R$ относительно $AB$. Докажите, что $\angle R'PB = \angle RPA$.

   Решение

Темы:    [ Иррациональные уравнения ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если (x+)(y+)=1 , то x+y=0 .

Решение

Умножая обе части данного неравенства на x- , получаем, что -y-=x- . Аналогично, умножая обе части данного равенства на y- , приходим к равенству -x-=y- . Складывая полученные равенства, приходим к равенству -(x+y)=x+y , откуда x+y=0 . Заметим, что функция f(x)=x+ возрастает при x0 ; при x<0 она также возрастает, так как f(x)= и знаменатель, очевидно, убывает. Поэтому при фиксированном y у данного уравнения не больше одного решения; с другой стороны, x=-y – очевидно, рещение уравнения.

Источники и прецеденты использования