Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]

Задача 60605 (#03.153)

Тема:

[

Арифметика. Устный счет и т.п.

]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Григорианский календарь. Обыкновенный год содержит 365 дней, високосный — 366. n-й год, номер которого не делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 4. n-й год, где n делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 400. Так, например, 1996-й и 2000-й годы — високосные, а 1997-й и 1900-й — нет. Эти правила были установлены папой Григорием XIII.
До сих пор мы имели ввиду ``гражданский год'', число дней которого должно быть целым. Астрономическим же годом называется период времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Считая, что ``григорианский год'' полностью согласован с астрономическим годом, найдите продолжительность астрономического года.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60606 (#03.154)

Тема:

[

Цепные (непрерывные) дроби

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что любое иррациональное число α допускает представление α = [a₀; a₁, ..., a_n–1, α_n], где a₀ – целое, a₁, a₂, ..., a_n–1 – натуральные, α_n > 1 – иррациональное действительное. Отсюда следует, что каждому иррациональному действительному числу можно поставить в соответствие бесконечную цепную дробь.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60607 (#03.155)

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что для любой бесконечной цепной дроби [a₀; a₁, ..., a_n, ...] существует предел её подходящих дробей – иррациональное число α. Объясните, почему если это число α разложить в бесконечную цепную дробь при помощи алгоритма задачи 60606, то получится бесконечная цепная дробь, равная исходной.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60608 (#03.156)

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью α = [a₀; a₁, ..., a_n, ...]. Докажите, что где Q_k – знаменатели подходящих дробей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60609 (#03.157)

Тема:

[

Алгоритм Евклида

]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Последовательности {a_k} и {b_k} строятся по следующему закону: a₁ = 1, a_n+1 = min(a_n, b_n), b_n+1 = |b_n – a_n| (n ≥ 1).
а) Докажите, что a_n ≠ 0 и a_n стремится к 0 при n → ∞.
б) Докажите, что последовательность имеет предел и найдите этот предел.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]