Задача 60609

Тема:    [ Алгоритм Евклида ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Последовательности {a_k} и {b_k} строятся по следующему закону: a₁ = 1,   a_n+1 = min(a_n, b_n),  b_n+1 = |b_n – a_n|  (n ≥ 1).
  а) Докажите, что  a_n ≠ 0  и  a_n  стремится к 0 при  n → ∞.
  б) Докажите, что последовательность    имеет предел и найдите этот предел.

Подсказка

Рассмотрите прямоугольник    и воспользуйтесь геометрической интерпретацией алгоритма Евклида из задачи 60598.

Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	5
Название	Цепные дроби
Тема	Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер	03.157