Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 83]

Задача 61100 (#07.036)

Темы:	[	Многочлены Чебышева	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Проверьте, что многочлены Чебышёва T_n(x) и U_n(x) (см. задачу 61099) удовлетворяют начальным условиям
T₀(x) = 1, T₁(x) = x; U₀(x) = 1, U₁(x) = 2x, и рекуррентным формулам T_n+1(x) = 2xT_n(x) – T_n–1(x), U_n+1(x) = 2xU_n(x) – U_n–1(x).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61101 (#07.037)

Темы:	[	Многочлены Чебышева	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что у многочлена 2T_n(^x/₂) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.
Здесь T_n – многочлен Чебышёва, смотри задачу 61099.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61102 (#07.038)

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Многочлены Чебышева	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Известно, что cos α° = ¹/₃. Является ли α рациональным числом?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61103 (#07.039)

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Многочлены Чебышева	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена (см. задачу 61013), докажите, что если ^p/_q рационально и cos (^p/_q)° ≠ 0, ±½, ±1, то
cos (^p/_q)° – число иррациональное.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61104 (#07.040)

Тема:

[

Тригонометрия (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что

cosⁿx = $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$ a_kcos kx, sinⁿx = sin x $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n-1}$ b_ksin kx,

где a₀,..., a_n, b₀,..., b_{n - 1} —рациональные числа. Найдите эти представления в явном виде для n = 2, 3, 4, 5. Выразите sinⁿx при четном n в виде sinⁿx = $\sum\limits_{k=0}^{n}$ c_kcos kx, а при нечетном — в виде sinⁿx = $\sum\limits_{k=0}^{n}$ d_ksin kx.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 83]