Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 64]

Задача 58270 (#25.048)

Тема:

[

Покрытия

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше 1/9.
б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее 1/9.

Прислать комментарий Решение

Задача 58271 (#25.049)

Тема:

[

Покрытия

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прожектор освещает угол величиной 90^o. Докажите, что в любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так, что они осветят всю плоскость.

Прислать комментарий Решение

Задача 58272 (#25.050)

Тема:

[

Покрытия

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Длина проекции фигуры $\Phi$ на любую прямую не превосходит 1. Верно ли, что $\Phi$ можно накрыть кругом диаметра: а) 1; б) 1,5?

Прислать комментарий Решение

Задача 58273 (#25.051)

Тема:

[

Покрытия

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что любые n точек на плоскости всегда можно накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма их диаметров меньше n и расстояние между любыми двумя из них больше 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 58274 (#25.052)

Тема:

[

Покрытия

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

На круглом столе радиуса R расположено без наложений n круглых монет радиуса r, причем больше нельзя положить ни одной монеты. Докажите, что R/r $\le$ 2 $\sqrt{n}$ + 1.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 64]