ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 110]      



Задача 57025  (#06.014)

Тема:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9

Продолжения сторон четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в точках P и Q, а его диагонали пересекаются в точке S.
а) Расстояния от точек P, Q и S до точки O равны p, q и s, а радиус описанной окружности равен R. Найдите длины сторон треугольника PQS.
б) Докажите, что высоты треугольника PQS пересекаются в точке O.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57026  (#06.015)

Тема:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Диагональ AC разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали AC в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников ABD и BCD тоже касаются диагонали BD в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57027  (#06.016)

Тема:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57028  (#06.017)

Тема:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57029  (#06.018)

Тема:   [ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9

Угол между сторонами AB и CD четырехугольника ABCD равен $ \varphi$. Докажите, что  AD2 = AB2 + BC2 + CD2 - 2(AB . BC cos B + BC . CD cos C + CD . AB cos$ \varphi$).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 110]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .