Условие
Диагональ
AC разбивает четырехугольник
ABCD на
два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали
AC
в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников
ABD
и
BCD тоже касаются диагонали
BD в одной точке, а точки их касания
со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.
Решение
Пусть вписанные окружности треугольников
ABC и
ACD
касаются диагонали
AC в точках
M и
N соответственно.
Тогда
AM = (
AC +
AB -
BC)/2 и
AN = (
AC +
AD -
CD)/2 (см. задачу
3.2). Точки
M
и
N совпадают тогда и только тогда, когда
AM =
AN,
т. е.
AB +
CD =
BC +
AD. Итак, если точки
M и
N совпадают, то
четырехугольник
ABCD описанный, и аналогичные рассуждения показывают,
что точки касания вписанных окружностей треугольников
ABD и
BCD с
диагональю
BD совпадают.
Пусть вписанная окружность треугольника
ABC касается сторон
AB,
BC
и
CA в точках
P,
Q и
M, а вписанная окружность треугольника
ACD
касается сторон
AC,
CD и
DA в точках
M,
R и
S. Так как
AP =
AM =
AS
и
CQ =
CM =
CR, то треугольники
APS,
BPQ,
CQR и
DRS равнобедренные;
пусть
,
,
и
— углы при основаниях этих
равнобедренных треугольников. Сумма углов этих треугольников
равна
2(
+
+
+
) +
A +
B +
C +
D,
поэтому
+
+
+
= 180
o. Следовательно,
SPQ +
SRQ = 360
o - (
+
+
+
) = 180
o,
т. е. четырехугольник
PQRS вписанный.
Источники и прецеденты использования
