Версия для печати
Убрать все задачи

---

Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая команда сыграла с каждой один раз). Доказать, что можно выделить такие четыре команды A, B, C и D, что A выиграла у B, C и D; B выиграла у C и D, C выиграла у D.

   Решение

---

Найдите все такие пары натуральных чисел a и k, что для всякого натурального n, взаимно простого c a, число  a^kn+1 – 1  делится на n.

   Решение

---

На плоской горизонтальной площадке стоят пять прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые четыре из этих прожекторов можно повернуть так, что все четыре испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все пять прожекторов, чтобы все пять лучей пересеклись в одной точке?

   Решение

---

В клетках таблицы 4×4 записаны числа так, что сумма соседей у каждого числа равна 1 (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).
Найдите сумму всех чисел таблицы.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98487

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В клетках таблицы 4×4 записаны числа так, что сумма соседей у каждого числа равна 1 (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).
Найдите сумму всех чисел таблицы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98491

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Треугольник ABC вписан в окружность. Через точку A проведены хорды, пересекающие сторону BC в точках K и L и дугу BC в точках M и N.
Докажите, что если вокруг четырёхугольника KLNM можно описать окружность, то треугольник ABC равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98492

Тема:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ad – bc > 1.  Докажите, что хотя бы одно из чисел a, b, c, d не делится на  ad – bc.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98508

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Теория алгоритмов ] [ Обратный ход ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Натуральное число n разрешается заменить на число ab, если  a + b = n  и числа a и b натуральные.
Можно ли с помощью таких замен получить из числа 22 число 2001?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98337

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями