Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]

Задача 108251 (#М1421)

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Четырехугольник (неравенства)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В выпуклый четырёхугольник ABCD, у которого углы при вершинах B и D – прямые, вписан четырёхугольник с периметром P (его вершины лежат по одной на сторонах четырёхугольника ABCD).
а) Докажите неравенство P ≥ 2BD.
б) В каких случаях это неравенство превращается в равенство?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98188 (#М1423)

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Отношение порядка	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

Автор: Рубин А.

Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98189 (#М1424)

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

Автор: Токарев С.И.

В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом A первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше A и при этом стоят правее A. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.
а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).
б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108596 (#М1425)

Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.
Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98193 (#М1426)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Гервер М.Л.

Через S(n) обозначим сумму цифр числа n (в десятичной записи).
Существуют ли три таких различных натуральных числа m, n и p, что m + S(m) = n+S(n) = p + S(p)?

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]