Версия для печати
Убрать все задачи

---

В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно  23021³⁷⁷ – 1.  Не опечатка ли это?

   Решение

---

Число x оканчивается на 5. Доказать, что x² оканчивается на 25.

   Решение

---

В угол с вершиной $C$ вписана окружность $\omega$. Рассматриваются окружности, проходящие через $C$, касающиеся $\omega$ внешним образом и пересекающие стороны угла в точках $A$ и $B$. Докажите, что периметры всех треугольников $ABC$ равны.

   Решение

---

Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности {a_n} имеет корень x₀ кратности 2. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

   Решение

---

В турнире участвовали 20 шахматистов. Каждый играл с каждым один раз белыми и один раз чёрными. Обязательно ли найдутся такие два шахматиста, что один из них выиграл не меньше партий белыми и не меньше партий чёрными, чем другой?

   Решение

---

По окружности записаны 30 чисел. Каждое из этих чисел равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел
равна 1. Найти эти числа.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108053  (#1)

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Внутри угла расположены две окружности с центрами A и B. Они касаются друг друга и двух сторон угла.
Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98113  (#2)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

В лес за грибами пошли 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали  n² + 9n – 2  гриба, причём все они собрали поровну грибов.
Кого было больше: мальчиков или девочек?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108054  (#3)

Темы:   [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, отличная от B, причём  AD : DC = AB : BC.  Докажите, что угол C тупой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98115  (#4)

Темы:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

По окружности записаны 30 чисел. Каждое из этих чисел равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел
равна 1. Найти эти числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями