|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, отличная от B, причём AD : DC = AB : BC. Докажите, что угол C тупой.
Подсказка
Примените теорему синусов или через точку B проведите прямую, параллельную CD.
Решение 1
Теорема синусов, применённая к треугольникам ABC и ADC, даёт sin∠ACD : sin∠A = AD : DC = AB : BC = sin∠ACB : sin∠A. Значит,
sin∠ACD = sin∠ACB. Поскольку ∠ACB ≠ ∠ACD, то больший из этих углов – тупой.
Решение 2
Через вершину B проведём прямую, параллельную CD. Пусть
эта прямая пересекает прямую AC в точке K. Поскольку точка D лежит между A и B, то точка K лежит на продолжении стороны AC за точку C. Из подобия треугольников ABK и ADC и условия задачи следует, что
AB : BK = AD : DC = AB : BC Значит, BK = BC. Следовательно, угол BKC при основании равнобедренного треугольника CBK острый, а смежный с ним угол угол ACB тупой.
Замечания
3 балла
