Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клетки шахматной доски записаны числа от 1 до 64 (первая горизонталь нумеруется слева направо числами от 1 до 8, вторая от 9 до 16 и т. д.). Перед некоторыми числами поставлены плюсы, перед остальными – минусы, так что в каждой горизонтали и в каждой вертикали по четыре плюса и по четыре минуса. Докажите, что сумма всех чисел равна 0.

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97954  (#1)

Темы:   [ Средние величины ] [ Системы линейных уравнений ] [ Текстовые задачи (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася – пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?

Решение

Добавим по единице к каждой оценке Васи. Его сумма баллов увеличится на 20. С другой стороны, она станет больше суммы оценок Коли на учетверённое количество Колиных двоек.

Ответ

5 двоек.

Прислать комментарий

---

Задача 108028  (#2)

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Медиана делит площадь пополам ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Точки M и N – середины противоположных сторон BC и AD выпуклого четырёхугольника ABCD. Диагональ AC проходит через середину отрезка MN. Докажите, что треугольники ABC и ACD равновелики.

Подсказка

Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

Решение

Пусть O – середина MN. Поскольку медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, то
   S_ACD = 2S_ACN = 2(S_AON + S_CON) = 2(S_AOM + S_COM) = 2S_AMC = S_ABC.

Прислать комментарий

---

Задача 97956  (#3)

Темы:   [ Симметричная стратегия ] [ Правильные многоугольники ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

  а) Вершины правильного 10-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее. Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнер?
  б) Тот же вопрос для 12-угольника.

Решение

   а) Второй игрок может применять симметричную стратегию: каждый раз проводить отрезок, центрально симметричный отрезку, проведённому первым. При этом у него всегда будет ход, следовательно, он проиграть не может.

   б) Здесь симметричную стратегию может применить начинающий: сначала он соединяет противоположные вершины, а далее действует по стратегии, описанной в а).

Ответ

а) Партнёр;  б) начинающий.

Прислать комментарий

---

Задача 97957  (#4)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В клетки шахматной доски записаны числа от 1 до 64 (первая горизонталь нумеруется слева направо числами от 1 до 8, вторая от 9 до 16 и т. д.). Перед некоторыми числами поставлены плюсы, перед остальными – минусы, так что в каждой горизонтали и в каждой вертикали по четыре плюса и по четыре минуса. Докажите, что сумма всех чисел равна 0.

Решение

Понятно, что если в каждой строке первой доски-слагаемого поставить по четыре минуса, то сумма всех её чисел будет равна нулю. Аналогично если расставить по четыре минуса в каждом столбце второй доски-слагаемого, то сумма всех её чисел будет равна нулю. Значит, при указанной в условии расстановке знаков сумма всех чисел на исходной доске будет равна нулю.

Прислать комментарий

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями