Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) На каждом из полей верхней и нижней горизонтали шахматной доски 8×8 стоит по фишке: внизу – белые, вверху – чёрные. За один ход разрешается передвинуть любую фишку на соседнюю свободную клетку по вертикали или горизонтали. За какое наименьшее число ходов можно добиться того, чтобы все чёрные фишки стояли внизу, а белые – вверху?

б) Тот же вопрос для доски 7×7.

   Решение

---

Последовательность чисел  x₁, x₂, ...  такова, что  x₁ = ½  и     для всякого натурального k.

Найдите целую часть суммы  

   Решение

---

В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.

   Решение

---

Решить в целых числах уравнение  2ⁿ + 7 = x².

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97839  (#1)

Темы:   [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Биссектрисы BD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O.
Докажите, что если  OD = OE,  то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине A равен 60°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97840  (#2)

Темы:   [ Обход графов ] [ Степень вершины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной b, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке A? (Стороны квадрата – тоже улицы).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97841  (#3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Решить в целых числах уравнение  2ⁿ + 7 = x².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108606  (#4)

Темы:   [ Неравенство треугольника ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97843  (#5)

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Доказать, что среди 18 последовательных трёхзначных чисел найдётся хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями