ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Существует ли 2005 таких различных натуральных чисел, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      



Задача 86103

Тема:   [ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 86106

Тема:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Дискриминанты трёх приведённых квадратных трёхчленов равны 1, 4 и 9.
Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 86107

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Существует ли 2005 таких различных натуральных чисел, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?

Прислать комментарий     Решение

Задача 86118

Темы:   [ Системы тригонометрических уравнений и неравенств ]
[ Производная и экстремумы ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Числа a и b таковы, что первое уравнение системы
{ sin x+a=bx
cos x=b

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Прислать комментарий     Решение


Задача 86124

Темы:   [ Системы тригонометрических уравнений и неравенств ]
[ Производная и экстремумы ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Числа a и b таковы, что первое уравнение системы
{ cos x=ax+b
sin x+a=0

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .