Версия для печати
Убрать все задачи

---

Окружность с центром O проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках M и K.
Докажите, что расстояние от точки O до прямой MK равно половине гипотенузы.

   Решение

---

Фигурки из четырёх клеток называются тет- рамино. Они бывают пяти видов (см. рис.). Существует ли такая фигура, что при любом выборе вида тетрамино эту фигуру можно составить, используя тетраминошки только выбранного вида? (Переворачивать тетраминошки можно.)

   Решение

---

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной b, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке A? (Стороны квадрата – тоже улицы).

   Решение

---

Дан треугольник ABC. Найдите все такие точки P, что площади треугольников ABP, BCP и ACP равны.

   Решение

---

Внутри выпуклого многоугольника взяты точки P и Q. Докажите, что существует вершина многоугольника, менее удаленная от Q, чем от P.

   Решение

---

Решите в целых числах уравнение  19x³ − 84y² = 1984.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79461  (#1)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Логарифмические неравенства ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Не используя калькуляторов, таблиц и т.п., докажите неравенство sin 1 < log₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79462  (#2)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Турниры и турнирные таблицы ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Жюри олимпиады решило по её результатам сопоставить каждому участнику натуральное число таким образом, чтобы по этому числу можно было однозначно восстановить баллы, полученные участником за каждую задачу, и чтобы из каждых двух школьников большее число сопоставлялось тому, кто набрал большую сумму баллов. Помогите жюри решить эту задачу!

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79463  (#3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Решите в целых числах уравнение  19x³ − 84y² = 1984.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79464  (#4)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 11

В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в n₁, n₂, n₃, ... копеек, где
n₁ < n < ₂ < n₃ < ...  – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n₁, n₂, ..., n_N копеек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79466  (#6)

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Свойства сечений ] [ Перегруппировка площадей ] [ Касательные к сферам ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями