Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1969 год
>>
8 класс, 2 тур
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии $a$ от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной не более $14a$?
Решение
На хорде AB окружности K с центром в точке O взята точка C. D — вторая точка пересечения окружности K с окружностью, описанной около
ACO. Доказать, что CD = CB.
Решение
Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969. Решение
Убрать все задачи
Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии $a$ от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной не более $14a$?
РешениеНа хорде AB окружности K с центром в точке O взята точка C. D — вторая точка пересечения окружности K с окружностью, описанной около
РешениеИз натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 3]
С числом
123456789101112...9989991000 производится следующая операция:
зачёркиваются две соседние цифры a и b (a стоит перед b) и на их место
вставляется число a + 2b (можно в качестве a взять нуль, ``стоящий'' перед
числом, а в качестве b — первую цифру числа). С полученным числом
производится такая же операция и т.д. (Например, из числа 118 307 можно
на первом шаге получить числа 218 307, 38 307, 117 307,
111 407, 11 837, 118 314.) Доказать, что таким способом можно
получить число 1.
Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое
последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в
последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину).
Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.
Страница: 1 [Всего задач: 3]
Задача 78708 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 78713 (#3) |
|
Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.
|
|
|
Решение |
Задача 78714 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 3]
