|
|
 |
Условие
Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рассмотрим описанные окружности данных пятиугольников. Они пересекаются в общей вершине O и в некоторой другой точке P. Докажем, что все рассматриваемые прямые проходят через точку P. Пусть X и X' – вершины пятиугольника с одинаковыми номерами. Пусть X и X' расположены по одну сторону от прямой OP (другой случай рассматривается аналогично). Тогда угловые величины дуг XO и X'O равны, поэтому ∠OPX = ∠OPX'. Следовательно, прямая XX' проходит через точку P.
Решение 2
Докажем более общее
Утверждение. Пусть на окружности S взята точка O, H – поворотная гомотетия с центром O. Тогда все прямые XX', где X – точка окружности S и
X' = H(X), пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть P – точка пересечения прямых XX' и YY'. Согласно задаче 58020 точки O, P, X и Y лежат на одной окружности и точки O, P, X' и Y' тоже лежат на одной окружности. Следовательно, P – точка пересечения окружностей S и H(S), то есть все прямые XX' проходят через точку пересечения окружностей S и H(S), отличную от точки O.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 32 |
| Год | 1969 |
| вариант | |
| Класс | 8 |
| Тур | 2 |
| задача | |
| Номер | 3 |
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 19 |
| Название | Гомотетия и поворотная гомотетия |
| Тема | Гомотетия и поворотная гомотетия |
| параграф | |
| Номер | 6 |
| Название | Центр поворотной гомотетии |
| Тема | Центр поворотной гомотетии |
| задача | |
| Номер | 19.047 |
