Информация о задаче

Задача 58020

Тема:

[

Центр поворотной гомотетии

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Пусть P — точка пересечения прямых AB и A₁B₁. Докажите, что если среди точек A, B, A₁, B₁ и P нет совпадающих, то общая точка описанных окружностей треугольников PAA₁ и PBB₁ является центром поворотной гомотетии, переводящей точку A в A₁, а точку B в B₁, причем такая поворотная гомотетия единственна.
б) Докажите, что центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок BC, является точка пересечения окружности, проходящей через точку A и касающейся прямой BC в точке B, и окружности, проходящей через точку C и касающейся прямой AB в точке B.

Решение

а) Если O — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок A₁B₁, то

$\displaystyle \angle$ (PA, AO) = $\displaystyle \angle$ (PA₁, A₁O) и $\displaystyle \angle$ (PB, BO) = $\displaystyle \angle$ (PB₁, B₁O),

а значит, точка O является точкой пересечения описанных окружностей треугольников PAA₁ и PBB₁. Случай, когда эти окружности имеют единственную общую точку P, очевиден: отрезок AB переходит в отрезок A₁B₁ при гомотетии с центром P. Если P и O — две точки пересечения рассматриваемых окружностей, то из равенств (1) следует, что $\triangle$ OAB $\sim$ $\triangle$ OA₁B₁, а значит, O — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок A₁B₁.
б) Достаточно заметить, что точка O является центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок BC, тогда и только тогда, когда $\angle$ (BA, AO) = $\angle$ (CB, BO) и $\angle$ (AB, BO) = $\angle$ (BC, CO).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	6
Название	Центр поворотной гомотетии
Тема	Центр поворотной гомотетии
задача
Номер	19.041