Условие
Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри.
Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям.
Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней
касательной на третьей окружности.
Решение
Пусть
O1 и
O2 — центры первых двух окружностей,
O — центр третьей
окружности,
A и
B — точки пересечения третьей окружности с внешней
касательной,
P — середина дуги
AB (точки
P и
O1 лежат по разные
стороны от прямой
AB). Проведём из точки
P касательную
PQ к окружности с
центром
O1. Докажем, что
PQ =
PA. Пусть
M и
N — точки касания
окружности с центром
O1 с прямой
AB и с третьей окружностью. Треугольники
NO1M и
NOP равнобедренные, причём
NO1M =
NOP, поэтому
прямая
MN проходит через точку
P. Следовательно,
PQ2 =
PM . PN =
PM . (
PM +
MN) =
PM2 +
AM . MB. Пусть
K — середина
отрезка
AB. Тогда
PM2 =
PK2 +
KM2 и
AM . MB =
AK2 -
KM2, поэтому
PQ2 =
PK2 +
AK2 =
AP2. Таким образом,
PO12 =
PQ2 +
QO12 =
PA2 +
r12, где
r1 — радиус окружности с центром
O1. Аналогично доказывается, что
PO22 =
PQ2 +
QO22 =
PA2 +
r22, где
r2 — радиус окружности с центром
O2. Пусть
R — точка касания первых двух окружностей (она лежит на
отрезке
O1O2). Тогда
PO12 -
PO22 =
r12 -
r22 =
RO12 -
RO22. Из этого
следует, что
PR
O1O2, а значит,
PR — общая внешняя касательная к
первым двум окружностям. (Тот факт, что множество точек
X, для которых
XO12 -
XO22 =
const, представляет собой прямую, перпендикулярную прямой
O1O2, легко доказать методом координат.)
Источники и прецеденты использования
