Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78609 (#1)

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В квадрате расположено K точек (K > 2). На какое наименьшее число треугольников нужно разбить квадрат, чтобы в каждом треугольнике находилось не более одной точки?

Прислать комментарий Решение

Задача 78610 (#2)

Темы:	[	Наименьший или наибольший угол	]
Темы:	[	Геометрические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Доказать, что в круге радиуса 1 нельзя найти более 5 точек, попарные расстояния между которыми все больше 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 78611 (#3)

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Доказать, что уравнение 19x³ – 17y³ = 50 не имеет решений в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78612 (#4)

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Объем помогает решить задачу	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Объем круглых тел	]
	[	Неравенства с объемами	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.

Прислать комментарий Решение

Задача 78613 (#5)

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
Темы:	[	Производящие функции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Из первых k простых чисел 2, 3, 5, ..., p_k (k > 5) составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например, 3·5, 3·7·... ·p_k, 11 и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через S. Доказать, что S + 1 разлагается в произведение более 2k простых сомножителей.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]