Ваня записал несколько простых чисел, использовав ровно по одному разу все цифры от 1 до 9. Сумма этих простых чисел оказалась равной 225.
Можно ли, использовав ровно по одному разу те же цифры, записать несколько простых чисел так, чтобы их сумма оказалась меньше?

   Решение

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

   Решение

Окружность S и точка O лежат в одной плоскости, причём O находится вне окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность S, и опишем конус с вершиной в точке O и касающийся шара. Найти геометрическое место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Дана последовательность чисел F₁, F₂, ...;  F₁ = F₂ = 1  и   F_n+2 = F_n + F_n+1.  Доказать, что F_5k делится на 5 при  k = 1, 2, ... .

Прислать комментарий

Решение

На плоскости проведено несколько полос разной ширины. Никакие две из них не параллельны. Как нужно сдвинуть их параллельно самим себе, чтобы площадь их общей части была наибольшей?

Прислать комментарий

Решение

k человек ехали в автобусе без кондуктора, и у всех них были монеты только достоинством в 10, 15, 20 копеек. Известно, что каждый уплатил за проезд и получил сдачу. Доказать, что наименьшее число монет, которое они могли иметь, равно k + , где значок [a] означает наибольшее целое число, не превосходящее a. Примечание. Проезд в автобусе стоит 5 копеек.

Прислать комментарий

Решение

Окружность S и точка O лежат в одной плоскости, причём O находится вне окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность S, и опишем конус с вершиной в точке O и касающийся шара. Найти геометрическое место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что Z₁ + ... + Z_n = 0, где Z_k — комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна 120^o.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]