Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2024 г.)
>>
8 класс
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
На бумажной ленте напечатаны автобусные билеты с номерами от 000 000 до 999 999. Затем синей краской пометили те билеты, у которых сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах. Какая будет наибольшая разность между номерами двух соседних синих билетов?
Решение
По кругу стоят кувшины с соками, не обязательно одинакового размера. Из любого кувшина разрешается переливать любую часть сока (возможно, нисколько или весь сок) в соседний кувшин справа, так чтобы тот не переполнился и сладость смеси в нём стала равна $10\%$. Известно, что в начальный момент такое переливание удалось бы сделать из любого кувшина. Докажите, что можно сделать в каком-то порядке несколько таких переливаний (не более одного из каждого кувшина), так чтобы сладость смеси во всех непустых кувшинах стала равна $10\%$. (Сладость — это процент сахара в смеси, по весу. Сахар всегда равномерно распределён в кувшине.)
Решение
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ – основание высоты из вершины $A$, $A'$ – точка описанной окружности, диаметрально противоположная $A$. На отрезке $AD$ выбрана точка $P$, а на отрезках $AB$ и $AC$ точки $X$ и $Y$ так, что $\angle CBP=\angle ADY$, $\angle BCP=\angle ADX$. Пусть $PA'$ пересекает $BC$ в точке $T$. Докажите, что $D$, $X$, $Y$, $T$ лежат на одной окружности. Решение
Убрать все задачи
На бумажной ленте напечатаны автобусные билеты с номерами от 000 000 до 999 999. Затем синей краской пометили те билеты, у которых сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах. Какая будет наибольшая разность между номерами двух соседних синих билетов?
РешениеПо кругу стоят кувшины с соками, не обязательно одинакового размера. Из любого кувшина разрешается переливать любую часть сока (возможно, нисколько или весь сок) в соседний кувшин справа, так чтобы тот не переполнился и сладость смеси в нём стала равна $10\%$. Известно, что в начальный момент такое переливание удалось бы сделать из любого кувшина. Докажите, что можно сделать в каком-то порядке несколько таких переливаний (не более одного из каждого кувшина), так чтобы сладость смеси во всех непустых кувшинах стала равна $10\%$. (Сладость — это процент сахара в смеси, по весу. Сахар всегда равномерно распределён в кувшине.)
РешениеВ остроугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ – основание высоты из вершины $A$, $A'$ – точка описанной окружности, диаметрально противоположная $A$. На отрезке $AD$ выбрана точка $P$, а на отрезках $AB$ и $AC$ точки $X$ и $Y$ так, что $\angle CBP=\angle ADY$, $\angle BCP=\angle ADX$. Пусть $PA'$ пересекает $BC$ в точке $T$. Докажите, что $D$, $X$, $Y$, $T$ лежат на одной окружности.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Даны окружность $\omega$ с центром $O$ и точка $P$ внутри нее. Пусть $X$ – произвольная точка $\omega$, прямая $XP$ и окружность $XOP$ пересекают $\omega$ во второй раз в точках $X_1$, $X_2$ соответственно. Докажите, что все прямые $X_1X_2$ параллельны друг другу.
Вершины $M$, $N$, $K$ прямоугольника $KLMN$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $CA$ соответственно правильного треугольника $ABC$ так, что $AM=2$, $KC=1$, а вершина $L$ лежит вне треугольника. Найдите угол $KMN$.
Окружность $\omega$ касается прямых $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Произвольная касательная к $\omega$ пересекает $a$ и $b$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Точки $X'$ и $Y'$ симметричны точкам $X$ и $Y$ относительно $A$ и $B$ соответственно. Найдите геометрическое место проекций центра окружности на $X'Y'$.
В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $D$ – основание высоты из вершины $A$, $A'$ – точка описанной окружности, диаметрально противоположная $A$. На отрезке $AD$ выбрана точка $P$, а на отрезках $AB$ и $AC$ точки $X$ и $Y$ так, что $\angle CBP=\angle ADY$, $\angle BCP=\angle ADX$. Пусть $PA'$ пересекает $BC$ в точке $T$. Докажите, что $D$, $X$, $Y$, $T$ лежат на одной окружности.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 67358 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67362 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67363 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67359 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67360 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
