Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 67350

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Dong L.

Окружность $\omega$, вписанная в неравнобедренный треугольник $ABC$, касается его сторон $BC, CA$ и $AB$ в точках $D, E$ и $F$ соответственно. Точка $M$ на луче $EF$ такова, что $EM = AB$. Точка $N$ на луче $FE$ такова, что $FN = AC$. Окружности $BFM$ и $CEN$ повторно пересекают $\omega$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Докажите, что прямые $BS, CT$ и $AD$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 67351

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $I_a$ – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$; $I'_a$ – точка, симметричная $I_a$ относительно прямой $AA_1$. Аналогично построим точки $I'_b$, $I'_c$. Докажите, что прямые $A_1I'_a$, $B_1I'_b$, $C_1I'_c$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 67357

Темы:	[	Прямоугольный тетраэдр	]
	[	Теорема Пифагора в пространстве	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Tran Quang Hung, Dergiados N.

В пирамиде $SABC$ все углы при вершине $S$ прямые. Точки $A'$, $B'$, $C'$ на ребрах $SA$, $SB$, $SC$ соответственно таковы, что треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ подобны. Верно ли, что плоскости $ABC$ и $A'B'C'$ параллельны?

Прислать комментарий Решение

Задача 67355

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Reznik D., Акопян А.В.

Дан отрезок $AB$. Пусть $C$ – произвольная точка на серединном перпендикуляре к $AB$; $O$ – точка на описанной окружности треугольника $ABC$, противоположная $C$; эллипс с центром $O$ касается прямых $AB$, $BC$, $CA$. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой $BC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67356

Тема:

[

Инверсия помогает решить задачу

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кухарчук И.

По окружности $\Omega$ движется точка $P$. На окружности $\Omega$ зафиксированы точки $A$ и $B$. Точка $C$ – произвольная точка внутри круга с границей $\Omega$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $APC$ и $BCP$, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что все точки $Q$ лежат на двух фиксированных прямых.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]