Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
42 турнир (2020/2021 год)
>>
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Фильтр
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем AC1 = AB1, BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Докажите, что A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторонами.
Решение
Решение
31-го декабря Антон сказал, что после Нового Года всё, сказанное им до Нового Года станет ложью. Правду ли он сказал? Решение
Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках? Решение
Убрать все задачи
От Майкопа до Белореченска 24 км. Три друга должны добраться: двое из Майкопа в Белореченск, а третий – из Белореченска в Майкоп. У них есть один велосипед, первоначально находящийся в Майкопе. Каждый из друзей может идти (со скоростью не более 6 км/ч) и ехать на велосипеде (со скоростью не более 18 км/ч). Оставлять велосипед без присмотра нельзя. Докажите, что через 2 часа 40 минут все трое друзей могут оказаться в пунктах назначения. Ехать на велосипеде вдвоём нельзя.
РешениеНа сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем AC1 = AB1, BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Докажите, что A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторонами.
РешениеКакое наименьшее число сторон может иметь нечётноугольник (не обязательно выпуклый), который можно разрезать на параллелограммы?
Решение31-го декабря Антон сказал, что после Нового Года всё, сказанное им до Нового Года станет ложью. Правду ли он сказал?
РешениеДля всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?
Решение
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?
Назовём пару различных натуральных чисел удачной, если их среднее арифметическое (полусумма) и среднее геометрическое (квадратный корень из произведения) — натуральные числа. Верно ли, что для каждой удачной пары найдётся другая удачная пара с тем же средним арифметическим?
(Пояснение: пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются одинаковыми.)
Петя и Вася играют в такую игру. Каждым ходом Петя называет какое-то целое число, а Вася записывает на доску либо названное число, либо сумму этого числа и всех ранее написанных чисел. Всегда ли Петя сможет добиться того, чтобы в какой-то момент на доске среди написанных чисел было
а) хотя бы сто чисел 5;
б) хотя бы сто чисел 10?
Пентамино «крест» состоит из пяти квадратиков $1\times1$ (четыре квадратика примыкают по стороне к пятому). Можно ли из шахматной доски $8\times8$ вырезать, не обязательно по клеткам, девять таких крестов?
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что куб одного из них равен сумме кубов остальных?
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Задача 66875 (#1) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66876 (#2) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 66877 (#3) |
|
|
а) хотя бы сто чисел 5;
б) хотя бы сто чисел 10?
|
|
|
Решение |
Задача 66878 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66879 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
