Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длины суммы оставшихся трех векторов.

   Решение

---

Через данную вершину A выпуклого четырёхугольника ABCD провести прямую, делящую его площадь пополам.

   Решение

---

Два правильных равных треугольника расположены в пространстве в параллельных плоскостях P₁ и P₂, причём отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям. Найти геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков, соединяющих точки одного треугольника с точками другого треугольника.

   Решение

---

Пусть α – действительное положительное число, d – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на d, равно  [^α/_d].

   Решение

---

Окружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66774  (#6 [8-9 кл])

Темы:   [ Вписанные четырехугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Центральная симметрия (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Два четырехугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ симметричны друг другу относительно точки $P$. Известно, что четырехугольники $A_1BCD$, $AB_1CD$ и $ABC_1D$ вписанные. Докажите, что $ABCD_1$ тоже вписанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66775  (#7 [8-9 кл])

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$, $BH_B$, $CH_C$. Пусть $X$ – произвольная точка отрезка $CH_C$, а $P$ – точка пересечения окружностей с диаметрами $H_CX$ и $BC$, отличная от $H_C$. Прямые $CP$ и $AH_A$ пересекаются в точке $Q$, а прямые $XP$ и $AB$ – в точке $R$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $R$, $H_B$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66776  (#8 [8-9 кл])

Темы:   [ Параллелограммы (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Окружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66777  (#9 [8-9 кл])

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66778  (#10 [8-9 кл])

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ $N$ – середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника, $NP$ и $NT$ – касательные к вписанной окружности. Прямые $BP$ и $BT$ пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках $P_1$ и $T_1$ соответственно. Докажите, что $PP_1=TT_1$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями