Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская устная олимпиада по геометрии
>>
16 (2018 год)
>>
10-11 класс
Фильтр
Выбрано 6 задач Убрать все задачи
Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на n%, где n – фиксированное натуральное число, меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли n, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?
РешениеОкружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Прямая l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l , касается S2 в точке C и пересекает S1 в двух точках. Докажите, что точки A , F и C лежат на одной прямой.
РешениеПусть a, b, c – стороны треугольника, p – его полупериметр, а r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство
РешениеПредложите способ измерения диагонали обычного кирпича, который легко реализуется на практике (без теоремы Пифагора).
РешениеВася постоял некоторое время на остановке. За это время проехал один автобус и два трамвая. Через некоторое время на эту же остановку пришёл Шпион. Пока он там сидел, проехало 10 автобусов. Какое минимальное число трамваев могло проехать за это время? И автобусы, и трамваи ходят с равными интервалами, причём автобусы ходят с интервалом 1 час.
РешениеНа стороне AB треугольника ABC выбрана точка M. В треугольнике ACM точка I1 – центр вписанной, J1 – центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. В треугольнике BCM точка I2 – центр вписанной, J2 центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков I1I2 и J1J2 перпендикулярна AB.
Решение
Задачи
Задача 66408 (#1) |
|
|
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели биссектрисы AK и BN, на которые опустили перпендикуляры CD и CE из вершины прямого угла. Докажите, что длина отрезка DE равна радиусу вписанной окружности.
|
|
Решение |
Задача 66409 (#2) |
|
|
Диагонали трапеции ABCD перпендикулярны. Точка M – середина боковой стороны AB, точка N симметрична центру описанной окружности треугольника ABD относительно прямой AD. Докажите, что ∠CMN = 90°.
|
|
|
Решение |
Задача 66410 (#3) |
|
|
Фиксированы окружность, точка A на ней и точка K вне окружности. Секущая, проходящая через K, пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что ортоцентры треугольников APQ лежат на фиксированной окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 66411 (#4) |
|
|
На стороне AB треугольника ABC выбрана точка M. В треугольнике ACM точка I1 – центр вписанной, J1 – центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. В треугольнике BCM точка I2 – центр вписанной, J2 центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков I1I2 и J1J2 перпендикулярна AB.
|
|
|
Решение |
Задача 66412 (#5) |
|
|
На поверхности равногранного тетраэдра сидят два муравья. Докажите, что они могут встретиться, преодолев в сумме расстояние, не превосходящее диаметра окружности, описанной около грани тетраэдра.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
