|
|
 |
Условие
Фиксированы окружность, точка
A на ней и точка K вне окружности. Секущая, проходящая через
K, пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что
ортоцентры треугольников APQ лежат на фиксированной окружности.
Решение
Пусть M середина отрезка PQ, H – ортоцентр треугольника, O – центр описанной окружности (см. рисунок). Тогда ∠OMK = 90°, то есть точка M лежит на окружности с диаметром OK.
Далее используем следующий факт: Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, лежат на описанной окружности треугольника и диаметрально противоположны противолежащим вершинам.
В нашем случае: точка H1, симметричная H относительно точки M, лежит на описанной окружности треугольника и диаметрально противоположна вершине A треугольника APQ. Следовательно, точка H1 – фиксирована. Заметим, что при гомотетии с центром H1 и коэффициентом 2 точка H является образом точки M. Поскольку точка M лежит на фиксированной окружности, то и точка H также лежит на фиксированной окружности.
Комментарий. Решение можно было завершить и по-другому. Так как точка M движется по окружности, то и точка пересечения медиан G треугольника APQ – тоже. Гомотетия с фиксированным центром O и коэффициентом 3 переводит G в H, так что и H движется по окружности.
