Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 66083 (#1)

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Евдокимов М.А.

Квадратный трёхчлен x² + bx + c имеет два действительных корня. Каждый из трёх его коэффициентов увеличили на 1.
Могло ли оказаться, что оба корня трёхчлена также увеличились на 1?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66084 (#2)

Темы:	[	Раскраски	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Все натуральные числа, бóльшие единицы, раскрасили в два цвета – синий и красный – так, что сумма каждых двух синих (в том числе одинаковых) – синяя, а произведение каждых двух красных (в том числе одинаковых) – красное. Известно, что при раскрашивании были использованы оба цвета и что число 1024 покрасили в синий цвет. Какого цвета при этом могло оказаться число 2017?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66085 (#3)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Евдокимов М.А.

Точка O – центр описанной окружности Ω остроугольного треугольника ABC. Описанная окружность ω треугольника AOC вторично пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Оказалось, что прямая EF делит площадь треугольника ABC пополам. Найдите угол B.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66086 (#4)

Темы:	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Куб	]
	[	Сечения, развертки и остовы (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Евдокимов М.А.

У Васи есть камень (однородный, без внутренних полостей), имеющий форму выпуклого многогранника, у которого есть только треугольные и шестиугольные грани. Вася утверждает, что он разбил этот камень на две части так, что можно сложить из них куб (без внутренних полостей). Могут ли слова Васи быть правдой?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66121 (#5)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кузнецов А., Лосев И.

При каких натуральных n для каждого целого k ≥ n найдётся кратное n число с суммой цифр k?

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]