Версия для печати
Убрать все задачи

---

  На доске написаны три функции:  f₁(x) = x + ¹/_x,   f₂(x) = x²,   f₃(x) = (x – 1)².  Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_x.
  Докажите, что если стереть с доски любую из функций  f₁,  f₂,  f₃, то получить ¹/_x невозможно.

   Решение

---

В один из дней года оказалось, что каждый житель города сделал не более одного звонка по телефону. Докажите, что население города можно разбить не более чем на три группы так, чтобы жители, входящие в одну группу, не разговаривали в этот день между собой по телефону.

   Решение

---

Двое играют в следующую игру. Есть кучка камней. Первый каждым своим ходом берет 1 или 10 камней. Второй каждым своим ходом берёт m или n камней. Ходят по очереди, начинает первый. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Известно, что при любом начальном количестве камней первый всегда может играть так, чтобы выиграть (при любой игре второго). Какими могут быть m и n?

   Решение

---

Окружность S касается окружностей S₁ и S₂ в точках A₁ и A₂.
Докажите, что прямая A₁A₂ проходит через точку пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям S₁ и S₂.

   Решение

---

Квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c,  не имеющий корней, таков, что коэффициент b рационален, а среди чисел c и f(c) ровно одно иррационально.
Может ли дискриминант трёхчлена  f(x) быть рациональным?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65704  (#11.1)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c,  не имеющий корней, таков, что коэффициент b рационален, а среди чисел c и f(c) ровно одно иррационально.
Может ли дискриминант трёхчлена  f(x) быть рациональным?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65705  (#11.2)

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию  xyz ≥ xy + yz + zx.  Докажите неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65706  (#11.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к описанной окружности Ω треугольника ABC пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к описанной окружности Γ треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65707  (#11.4)

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Есть клетчатая доска 2015×2015. Дима ставит в k клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500×1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем k Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65702  (#11.5)

Темы:   [ Теория множеств (прочее) ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых  a + b  лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества действительных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями