Задача 65704

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Жуков Г.

Квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c,  не имеющий корней, таков, что коэффициент b рационален, а среди чисел c и f(c) ровно одно иррационально.
Может ли дискриминант трёхчлена  f(x) быть рациональным?

Решение

Так как трёхчлен  f(x) не имеет корней, то  c = f(0) ≠ 0  и  f(c) ≠ 0.  Значит, число  ^f(c)/_c  иррационально как отношение рационального и иррационального чисел. Но  ^f(c)/_c = ac + b + 1.  Так как  b + 1  рационально, то ac иррационально. Следовательно, дискриминант  D = b² – 4ac  иррационален как разность рационального и иррационального чисел.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	4
класс
Класс	11
задача
Номер	11.1