Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 9. Уравнения и системы
>>
параграф 1. Уравнения третьей степени
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
РешениеДве окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A, B, C и D, как показано на рисунке.
РешениеПри изготовлении партии из N ≥ 5 монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?
РешениеAA1, BB1, CC1 – высоты треугольника ABC, B0 – точка пересечения BB1 и описанной окружности Ω, Q – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника A1C1B0. Докажите, что BQ – симедиана треугольника ABC.
РешениеТрое играют в "камень-ножницы-бумагу". В каждом раунде каждый наугад показывает "камень", "ножницы" или "бумагу". "Камень" побеждает "ножницы", "ножницы" побеждают "бумагу", "бумага" побеждает "камень". Если в раунде было показано ровно два различных элемента (и значит, один из них показали дважды), то игроки (или игрок), показавшие победивший элемент, получают по 1 баллу; иначе баллы никому не начисляются. После нескольких раундов оказалось, что все элементы были показаны одинаковое количество раз. Докажите, что в этот момент сумма набранных всеми баллов делилась на 3.
РешениеВнутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что
Решение25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили забавную закономерность. Если выбрать любую группу не меньше чем из 10 мальчиков, а потом добавить к ним всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих мальчиков, то в получившейся группе число мальчиков окажется на 1 меньше, чем число девочек. Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.
РешениеКасательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника ABC в точках A и C, пересекаются в точке Z. AA1, CC1 – высоты. Прямая A1C1 пересекает прямые ZA, ZC в точках X и Y соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ касаются.
РешениеВ вершинах n-угольника стоят числа 1 и –1. На каждой стороне написано произведение чисел на её концах. Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю. Доказать, что a) n чётно; б) n делится на 4.
РешениеДокажите, что
а) при p ≥ 0 график многочлена x³ + px + q пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;
б) при p < 0 график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трёх точках;
в) при p < 0 график имеет один минимум и один максимум;
г) абсциссы точек минимума и максимума противоположны.
Решение
Задачи
Задача 61252 (#09.001) |
|
Докажите, что
а) при p ≥ 0 график многочлена x³ + px + q пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;
б) при p < 0 график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трёх точках;
в) при p < 0 график имеет один минимум и один максимум;
г) абсциссы точек минимума и максимума противоположны.
|
|
|
Решение |
Задача 61253 (#09.002) |
|
|
Докажите, что произвольное уравнение третьей степени z³ + Az² + Bz + C = 0 при помощи линейной замены переменной z = x + β можно привести к виду x3 + px + q = 0.
|
|
Решение |
Задача 61254 (#09.003) |
|
|
Докажите, что график многочлена
а) x³ + px; б) x³ + px + q; в) ax³ + bx² + cx + d
имеет центр симметрии.
|
|
|
Решение |
Задача 61255 (#09.004) |
|
|
Докажите равенство +
= 1.
|
|
|
Решение |
Задача 61256 (#09.005) |
|
|
Решите уравнение x³ + x² + x = – 1/3.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]
