Версия для печати
Убрать все задачи

---

На стороне AB четырехугольника ABCD взята точка M₁. Пусть M₂ — проекция M₁ на прямую BC из D, M₃ — проекция M₂ на CD из A, M₄ — проекция M₃ на DA из B, M₅ — проекция M₄ на AB из C и т. д. Докажите, что M₁₃ = M₁ (а значит, M₁₄ = M₂, M₁₅ = M₃ и т. д.).

   Решение

---

  Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдёт в  37·⁴⁰/₁₀₀ = 14,8  и будет округлена до 15.)
  Студенты Петя и Вася получили оценки a и b, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчётов так, чтобы у Пети стала оценка b, а у Васи – оценка a (пересчитываются одновременно обе оценки).

   Решение

---

В разложении  (x + y)ⁿ  по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите x, y и n.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 58]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60414  (#02.080)  [Свойство шестиугольника]

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите равенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60415  (#02.081)

Темы:   [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

120 одинаковых шаров плотно уложены в виде правильной треугольной пирамиды. Сколько шаров лежит в основании?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60416  (#02.082)

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В разложении  (x + y)ⁿ  по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите x, y и n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60417  (#02.083)  [Биномиальная система счисления]

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Системы счисления (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Покажите, что любое натуральное число n может быть представлено в виде     где x, y, z – такие целые числа, что  0 ≤ x < y < z,  либо  0 = x = y < z.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60418  (#02.084)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Сочетания и размещения ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В компании из 10 человек произошло 14 попарных ссор. Докажите, что все равно можно составить компанию из трёх друзей.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 58]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями