Версия для печати
Убрать все задачи

---

Окружность проходит через вершины В и D параллелограмма АВСD и пересекает его стороны АВ, ВС, СD и DA в точках M, N, P и K соответственно. Докажите, что  MK || NP.

   Решение

---

12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (k+1)-м – те, кто были в k-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?

   Решение

---

Дан бесконечный запас белых, синих и красных кубиков. По кругу расставляют любые $N$ из них. Робот, став в любое место круга, идёт по часовой стрелке и, пока не останется один кубик, постоянно повторяет такую операцию: уничтожает два ближайших кубика перед собой и ставит позади себя новый кубик того же цвета, если уничтоженные одинаковы, и третьего цвета, если уничтоженные двух разных цветов. Назовём расстановку кубиков хорошей, если цвет оставшегося в конце кубика не зависит от места, с которого стартовал робот. Назовём $N$ удачным, если при любом выборе $N$ кубиков все их расстановки хорошие. Найдите все удачные $N$.

   Решение

---

а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 84]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58518  (#31.051)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что

где и  — некоторые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58519  (#31.052)

Темы:   [ Кривые второго порядка ] [ Алгебраические кривые ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Докажите, что если вершины шестиугольника ABCDEF лежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых AB и DE, BC и EF, CD и AF) лежат на одной прямой (Паскаль).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58520  (#31.053)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58521  (#31.054)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Пусть хорды KL и MN проходят через середину O хорды AB. Докажите, что прямые KN и ML пересекают прямую AB в точках, равноудаленных от точки O.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58522  (#31.055)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Пусть стороны самопересекающихся четырехугольников KLMN и K'L'M'N', вписанных в одну и ту же окружность, пересекают хорду AB этой окружности в точках P, Q, R, S и P', Q', R', S' соответственно (сторона KL — в точке P, LM — в точке Q, и т. д.). Докажите, что если три из точек P, Q, R, S совпадают с соответственными тремя из точек P', Q', R', S', то и оставшиеся две точки тоже совпадают. (Предполагается, что хорда AB не проходит через вершины четырехугольников.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 84]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями